12 noviembre, 2013

La paradoja de los dos sobres


Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.


Por Miles Mathis.

Una lectora me mandó recientemente una pregunta sobre este problema, que—lo creas o no—no lo había visto antes. Lo conectaba con las paradojas cuánticas, en las que un mal análisis estadístico permite a los físicos modernos crear problemas y paradojas donde no las hay. En esos huecos es donde juegan a sus juegos Modernos. Tiene toda la razón en eso.

El problema de los dos sobres es muy sencillo. Tienes dos sobres y lo único que se te dice es que uno contiene dos veces más dinero que el otro. Al no tener ninguna manera de calcular cuál es la mejor opción, eliges uno al azar (o sencillamente se te da uno al azar). Después de esa elección, se te da lo oportunidad de cambiar de sobre. Algunos matemáticos han hecho los cálculos de probabilidad, mostrando que la mejor opción es cambiar de sobre. ¿Cómo puede ser eso?

Bien, para escribir la ecuación, empiezan con estas premisas. Supón que el sobre que has elegido contiene 20€. Hay dos posibilidades y sólo dos. Una, tienes el sobre con la cantidad mayor, de modo que el otro sobre tiene 10€. Dos, tienes el sobre con la cantidad menor, con lo que el otro sobre contiene 40€. Usando estas premisas de hecho es posible escribir las ecuaciones de probabilidad que te indican que es mejor cambiar. La razón es que esas ecuaciones contienen tres variables, que son x, 2x, y x/2. Sin embargo, como en la vida real nunca hay tres posibilidades, los cálculos son incorrectos.

Los cálculos son incorrectos porque el problema se enuncia de forma incorrecta. El problema se debería enunciar así: digamos que uno de los sobres contiene 20€. Ese sobre es o bien el de mayor cantidad o bien el de menor cantidad, pero no ambos. Por lo tanto, las cantidades en los sobres son o bien 20€ y 10€, o 20€ y 40€, pero no ambas. Sólo hay una realidad, no dos. El estado real es un único estado. Si el estado real es dos sobres, uno con 10€ y otro con 20€, entonces 40€ no aparece en las ecuaciones. Si el estado real es de dos sobres con 20€ y 40€, entonces 10€ no entra en las ecuaciones. Así que tienes que escribir las ecuaciones en términos de x y 2x, o de x y x/2. No puedes escribir ecuaciones como función de los tres términos x, 2x, y x/2. Si lo haces, cometes un error matemático terrible, es así de simple.

La falsa paradoja se crea al usar tres términos en un problema que sólo tiene dos. 

Esta paradoja es como las paradojas de Zenón, que he mostrado que se enuncian de forma incorrecta a propósito, para comprobar tu capacidad de detectar errores en los postulados.

Ciertamente, la solución de arriba es la "solución común". No estoy descubriendo nada nuevo aquí (aunque puede que lo esté enunciando de forma un poco más clara). Sin embargo, esta falsa paradoja ha sido objeto, por alguna razón, de atención de un montón de matemáticos profesionales recientemente. Aunque la respuesta es simple, un montón de gente está haciendo lo que puede por enfangarla. ¿Por qué? En Wikipedia, se nos dice esto:

No hay una solución propuesta que haya sido ampliamente aceptada como correcta. A pesar de esto es bastante común que los autores declaren que la solución del problema es fácil, incluso elemental. Sin embargo, cuando se investigan estas soluciones elementales a menudo difieren según cada autor. Desde 1987 se han publicado cada año nuevos artículos.

Así que un montón de gente "importante", incluyendo los escritores académicos de Wikipedia, te están diciendo que la solución común es una simplificación, y que el problema es más profundo de lo que parece. ¿Por qué harían eso?¿Son estúpidos? No, están difundiendo la confusión a propósito, porque beneficia a muchas ramas de las matemáticas y de la física que se difunda esa confusión. Miles de grandes nombres han hecho su agosto del hueco creado por esta falsa paradoja y otras paradojas similares, y si esas paradojas se esfumaran, se quedarían sin trabajo. Una de estas paradojas es el entrelazamiento cuántico, otro problema fabricado con el que se han ganado el pan un montón de gente durante las últimas décadas. Te ruego que observes la similaridad entre el problema de los dos sobres y el del gato de Schrodinger[por traducir]. Acabas de ver cómo se ha introducido la confusión en el problema de los sobres intentando desviar a la audiencia del hecho evidente de que sólo hay una realidad. Aquellos que enfangan el problema o bien te redirigen lejos de esa cuestión, o de hecho ponen esa cuestión encima de la mesa y mienten sobre ella. Niegan que haya una única realidad. Se ponen el sombrero de picapleitos y tratan de convencerte de que es más interesante y creativo asumir que hay una infinidad de realidades. Dicen que antes de que abras los sobres, las cantidades pueden ser 20€ y 10€, 20€ y 40€, y cualesquiera otros múltiplos de 2. Como no lo sabemos, las posibilidades son infinitas. Ahí es donde llegamos a la hipótesis de los universos paralelos de Hugh Everett.

Observa cómo he puesto en negrita la palabra "y" más arriba. Ahí es donde se hace el cambio. Observa que debería ser "antes de que abras los sobres, las cantidades pueden ser 20€ y 10€, 20€ y 40€, o cualesquiera otros múltiplos de 2." Para llegar a la hipótesis de los universos paralelos, tienes que escribirlo con "y". Pero como la manera correcta de enunciar el problema es con "o", sólo uno de los estados existe en cualquier problema. No todos a la vez, sino uno sólo de los estados.

De nuevo, esta gente está propagando la confusión a propósito. Aparentan que no saben la diferencia entre la configuración del problema y las estadísticas, aunque por supuesto que la saben. Nadie es tan estúpido, por lo que deben estar mintiendo. Recuerda, alguien tiene que configurar el problema. Alguien tiene que poner una cantidad de dinero en cada sobre. El dinero no se introduce él mismo en los sobres. Así que, aunque nuestros electores podrían no saber las cantidades reales, alguien lo sabe. Esa persona sabe que hay dos cantidades en los sobres, no tres o infinitas. Pero ni siquiera así está enunciado de forma lo bastante sencilla. No tiene nada que ver con el conocimiento, o con quién sabe qué. Sólo tiene que ver con la lógica. Como acabo de decir, los dos sobres contienen dos y sólo dos cantidades, y por lo tanto los cálculos de probabilidades nunca pueden albergar tres variables.

Por decirlo de otra forma, los dos sobres pueden contener cantidades de dinero de cualquier múltiplo de 2, pero contienen sólo un múltiplo de 2. Aquí no hay universos paralelos. Sólo existe un universo. Los que propagan la confusión lo hacen mezclando poder contener con contener. Intentan hacerte pensar que como hay muchas posibilidades, esas posibilidades existen. Pero no existen. O existen sólo en potencia. Esa gente te la está jugando con la palabra existir. Como puedes decir, "la posibilidad existe", te dicen que todas esas posibilidades existen al mismo tiempo en algún universo real. Pero no existen. Las posibilidades no existen de esa forma. Las posibilidades existen como ideas, en tu cabeza o en una hoja de papel. Pero el dinero de los sobres existe de forma diferente. Existe como objetos reales en un universo real. Y el dinero existe en sólo un estado durante el problema. Una vez que se esconde el dinero en los sobres, no entra de repente en un estado indefinido o infinito. Todo el mundo sabe eso. Tu madre lo sabe, tus hijos lo saben, tu canguro lo sabe, y todos estos falsos matemáticos lo saben.

A pesar de eso, se introduce el análisis Bayesiano para confundir más el tema. En la Royal Society, dicen esto:

Mientras que el problema de Monty Hall es abordable por análisis elemental, para el problema de los dos sobres se necesitan técnicas avanzadas como las encontradas en McDonnel et al. (2008).

Por supuesto que dice eso, dado que la cita es de un artículo de, sí, Mark McDonnel. Pero como el problema de Monty Hall involucra tres puertas, con la complejidad añadida, ¿Cómo puede ser que sea "abordable por análisis elemental", mientras que para el problema de los sobres se necesiten técnicas avanzadas? Dado que Mark McDonnell menciona el problema de Monty Hall, veremos debajo qué tiene que decir Marilyn vos Savant al respecto. Marilyn avergonzó a miles de doctores en matemáticas respecto al problema de Monty Hall, así que veremos si está de acuerdo en que sean necesarias técnicas avanzadas.

Pero primero, veamos por qué se podría necesitar el análisis Bayesiano. Se nos dice en Wikipedia:

Aquí la paradoja puede resolverse dependiendo enormemente de las premisas que se hagan acerca de las cosas que no quedan claras en la configuración y el argumento propuesto para cambiar de sobre. La premisa más habitual acerca de la manera en que se configuran los obres es que una suma de dinero está en un sobre, y el doble de esa suma está otro sobre. Uno de los dos sobres se le da aleatoriamente a un jugador (sobre A). No queda claro exactamente cómo se determina la menor de las dos sumas, qué valores posibles podrían darse y, en particular, si hay una cantidad máxima que puedan contener. Tampoco se especifica si el jugador puede mirar el sobre A antes de decidir si cambiar de sobre o no. Una abigüedad más en la paradoja es que no se deja claro en la proposición si la cantidad A del sobre A se supone que sea una constante, una variable aleatoria, o alguna otra cantidad.

Todas estas cuestiones extra no suponen ninguna diferencia en absoluto, como verás si piensas al respecto. Digamos que al elector se le permite abrir su sobre y mirar la cantidad que hay en él. ¿Supondría alguna diferencia? No. Ese conocimiento no te puede ayudar a tomar una decisión, así que no puede entrar en las probabilidades. Digamos que abres tu sobre y encuentras 20€. Todo lo que sabes es que el otro sobre tiene o 10€ o 40€. Pero como no hay probabilidades lógicas puedes suponer que tiene 10€ o 40€, pero no te va a ayudar en nada. Tu conocimiento de si tienes el sobre de mayor cantidad o de menor cantidad sigue siendo cero, lo que evita que puedas asignar nuevas probabilidades. No estás mejor que antes.

La cuestión acerca de si los valores son constantes o variables aleatorias tampoco es pertinente. Es más desorientación. Obviamente, los valores son predeterminados, pues no hay forma física de introducir variables en los sobres. Dado que los valores predeterminados son incluso más sólidos que las constantes matemáticas, comprender esto cortocircuita cualquier intento de desorientar. Una constante matemática, aunque no sea una variable, todavía puede tomar diferentes valores, como hemos visto. Se puede definir como constante entre cada evento, pero puede variar entre un evento y otro. Pero un valor predeterminado es más constante que cualquier constante matemática, pues no puede variar bajo ninguna circunstancia. Una vez que se rellena el sobre, es un valor, constante durante todas las posibles manipulaciones matemáticas.

Así que el hecho de que este problema haya vuelto a entrar en el terreno de juego es en realidad un fenómeno político, no matemático. Nadie con un coeficente intelectual por encima de 80 cree realmente que este problema se haya hecho más interesante o más difícil que en 1987. Así que ¿Por qué ha vuelto a entrar en el apogeo de la literatura en 1987-89? Lo hizo para respaldar el problema del gato de Schrodinger, la superposición cuántica, el entrelazamiento cuántico, y las otras paradojas fabricadas de la física, que estaban en cierto peligro en esos momentos. Fue justo después de la llegada de la Teoría de Cuerdas, y los teóricos estaban volviendo a usar las viejas falsas paradojas en sus teorías para fabricar interacciones incluso más innovadores. El problema es que estaban recibiendo contragolpes de los pocas personas que quedaban en matemáticas y física a las que les quedaba algún escrúpulo. Podemos asumir que algunos de estos contragolpes eran tan incisivos como para amenazar con el desmoronamiento de la superposición y el entrelazamiento cuánticos. Bien, como se había descubierto que la superposición y el entrelazamiento cuánticos eran unas máquinas de hacer dinero tales—no sólo para los físicos cuánticos, sino para toda la física mainstream y las revistas de ciencia—este contragolpe tenía que ser contrarrestado.

Por lo tanto, se conminó a los departamentos de matemáticas a incrementar los niveles de confusión y desorientación, de cualquier forma en la que pudieran hacerlo. Se les dio instrucciones de publicar un bombardeo de artículos, de usar terminología y simbolismos tan complejos como pudieran, de importar tantas formas del análisis Moderno (como el análisis Bayesiano) como fuera posible, y de evitar hacer que las cosas tuvieran sentido. Y así lo hicieron.

Al principio, cuando recibí el correo que me llevó a hacer este artículo, le dije a la lectora que estaba demasiado ocupado con otros problemas para centrarme en él. Le recomendé que fuera a Marilyn vos Savant, de quien sospechaba que ya habría respondido a esto en su columna del Parade. Confío en el juicio de Marilyn en cuestiones como esta y la he defendido en el revuelo de Fermat[por traducir]. Sin embargo, pronto tuve tiempo para prestarle la atención suficiente al problema tal como se muestra en Wikipedia, y vi la respuesta inmediatamente. Dado que vi que mi solución rápida era la "habitual", pensé que debería dejarlo así. No pensé que mi aportación fuera necesaria. Sin embargo, al leer un poco más en Wikipedia, vi pronto que esto enlazaba con el gato de Schrodinger y el entrelazamiento cuántico. También empecé a entender la cronología de los eventos de la reentrada de este problema en la literatura, lo que me dio algo que decir acerca del problema que creo que nadie más está diciendo.

Concluiré volviendo a imprimir lo que Marilyn dijo en Parade en 1992 [20 de septiembre]:

[N. del T.: El sobre que recibe el elector en este caso es de 100€]
Aunque parece que deberías cambiar, pues tienes una elección al 50% entre 200€ y 50€, cosa que haría cualquier jugador, en realidad no supone ninguna diferencia. Esas elecciones a la para sólo se aplicarían si pudieras elegir uno entre dos sobres más, uno con 200€ y otro con 50€. Tal como está la cosa, sólo hay un sobre más, bien con el doble de la cantidad que tienes o bien con la mitad. Y sabías que esa sería la situación antes de que empezaras. Así que cuando abres el primer sobre, no ganas información para mejorar tus probabilidades. Esto se puede ilustrar teniendo en cuenta que la lógica que hace que cambies de sobre (porque parece que tienes una elección al 50% entre 200€ y 50€) te llevaría a cambiar siempre (sin importar lo que encontraras en el primer sobre), ¡Haciendo que el segundo sobre sea tan aleatorio como el primero!

En otras palabras, para que cambiar fuera beneficioso, necesitarías tres sobres, lo que te daría tres variables, lo que te daría las probabilidades que necesitas para justificar el cambio. Pero sin los tres sobres, no tienes razones para cambiar. Ten en cuenta que Marilyn no necesita ninguna técnica avanzada para llegar a esta conclusión. Enuncia el caso en seis frases, sin variables. Aunque yo he encontrado su respuesta después de la mía, estoy satisfecho de haber llegado a la misma conclusión. En los problemas más simples, a veces te preocupas más que en ningún otro de que tu primera reacción sea errónea, porque parece demasiado fácil. Aunque raras veces necesito o busco una confirmación, me alegré de encontrarla en este caso.

Ten en cuenta también la diferencia entre la lógica de Marilyn y la falta de lógica del mainstream. Ella usa la paradoja creada como una señal de que no puedes seguir por ahí. No ve que la paradoja de cambiar de sobre siempre como algo que haya que abrazar y explotar. No la ve como un hueco por el que pueda infiltrarse y hacer su agosto. Lo ve como una señal de que hay que pararase, no de que haya que continuar.

Algunos dirán, "Bien, parece que te gana en brevedad, así como en cortesía. No llama a nadie estúpido o mentiroso. ¿Por qué no sigues su ejemplo?" Puedo responder a eso también. Aunque su respuesta es lo bastante correcta para la revista Parade, deja un poco que desear. Para iniciados, ten en cuenta que está respondiendo al problema con la complicación adicional de mirar el contenido del sobre. Tiene toda la razón en lo que dice, pero su análisis no se aplica si no miras el sobre. Las probabilidades son las mismas, pero las razones son ligeramente diferentes. Las probabilidades al 50% ni siquiera aparecen, como puedes ver. Sin mirar el sobre, no cambias porque no hay manera de escribir las probabilidades que te indiquen que deberías hacerlo. Creo que ayuda mostrar por qué no puedes escribir probabilidades entre tres para dos sobres. También ayuda en mi análisis mostrar cómo los otros tipos tratan de forzar el problema. Mostrándote las diversas formas en que hacen trampas, con la trampa del 3 por 2, la del y/o, o la de la "existencia", conecta esto más claramente con el gato de Schrodinger y el entrelazamiento cuántico. Conectarlo con la Teoría de Cuerdas te ayuda a entender el por qué y el cuando de las trampas. Si puedes entender por qué los matemáticos fuerzan ecuaciones, a menudo ayuda ver cómo lo hacen.

Respecto a mi falta de cortesía, creo que el tiempo para eso ya pasó. Marilyn lo intentó cortésmente y no le llevó a ninguna parte. Está la gente (o la misma clase de gente) que se le echó encima en los 90. De nuevo, ayuda conocer la política. Marilyn no es considerada una matemática profesional, simplemente porque no tiene una cátedra en algún sitio. El hecho de que resuelva problemas mejor que casi ninguno no significa nada para los matemáticos profesionales, sólo les molesta. En una palabra, envidian su inteligencia. El hecho de que hiciera parecer idiotas a montones de ellos con el problema de Monty Hall y con otros problemas sólo echó sal en la herida. En 1990, su solución correcta fue contestada por más de 1000 doctores en matemáticas, incluyendo académicos de alto nivel. Como admite Wikipedia, "Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolijos de la historia, siguió sin estar convencido hasta que se le mostró una simulación por ordenador confirmando el resultado predicho." No fue el único. Algunos de esos académicos todavía atacan a Marilyn en los foros y en Amazon.com y demás. Siguen atacándola respecto a sus afirmaciones sobre Fermat, aunque tenía razón desde el principio. Finalmente ella se retractó. Yo no. 

Probablemente ella cree que los que le atacan lo hacen simplemente porque están en honesto desacuerdo. O quizás admitiría que son gente envidiosa y desagradable. Pero no creo que haya considerado la posibilidad de que se les pague para aparentar el desacuerdo con ella y con todo el análisis directo. La última vez que le mandé un correo (hace bastante), no parecía abierta a esa posibilidad. Puede ser que los eventos de la última década le hayan hecho cambiar de opinión.

Ahora se sabe que a mucha gente se le paga para crear desestabilización en muchos campos. No es una teoría, mucho menos una teoría conspiratoria. Se han desclasificado documentos que lo demuestran. Exagentes lo han reconocido. Se ha demostrado tanto en las artes como en las ciencias como en la política. El mundo está lleno de mentirosos, y muchos de ellos son mentirosos a sueldo. No llamo a nadie estúpido en este artículo, si te das cuenta. Dije que no podían ser lo bastante estúpidos como para hacer un lío tan horrible de esto como el que hacen. Pero sí les llamé mentirosos. La evidencia nos dice inequívocamente que se miente a propósito, y una mentira requiere un mentiroso. Del mismo modo que los sobres no se rellenan ellos solos, las mentiras no se cuentan solas.

El entrelazamiento cuántico no es un error. No lo provocó una falta de comprensión honesta. La interpretación actual del gato de Schrodinger no es un error. No fue provacada por una falta ede comprensión. Es desorientación premeditada, una desorientación que ha sido abrazada y alentada porque crea trabajos. Se descubrió que generaba una historia más vendible que la verdad. La gente leerá sobre el entrelazamiento cuántico y sobre fuerzas a distancia y universos paralelos y el efecto del observador hasta el día del juicio, mientras que solo bostezarán ante la verdad. Lo análisis directos y sencillos entretienen a la mayoría de la gente tanto como el pan blanco o los tomates transgénicos. Simplemente no tienen suficiente sabor. Han crecido con una dieta de refrescos y chucherías, y la lógica simplemente no tiene el suficiente azúcar para ellos. La consistencia no está lo bastante especiada. El rigor es aburrido. Necesitan un poco de magia y milagros en cada párrafo, un conejo sacado de la nada en cada ecuación.

Pero estos problemas y ecuaciones no se han forzado sólo para saciar a la plebe y a los incultos. Las teorías como el entrelazamiento cuántico siguen forzándose porque la mayor parte de la mecánica cuántica descansa sobre esas teorías. Si se destruyen esas paradojas, no sólo se destruyen trabajos y las brillantes portadas de Investigación y Ciencia, son los fundamentos de la mecánica cuántica al completo los que se destruyen. Si la física pierde el entrelazamiento cuántico y la superposición y el efecto túnel y esas otras paradojas, se desmorona. Si cae la mecánica cuántica, la electrodinámica cuántica y la cromodinámica cuántica caen, el modelo estándar cae, y la teoría que sustenta al Gran Colisionador de Hadrones (LHC) y otros grandes proyectos fracasan. Así que ya ver por qué el mainstream debería interesarse en proteger el entrelazamiento cuántico, aunque signifique mentir como bellacos.

Por supuesto, hay una alternativa. He mostrado como la mecánica cuántica se puede reconstruir fácilmente sobre bases firmes, manteniendo todos los datos y la parte buena de la teoría y las ecuaciones, a la vez que perdiendo el entrelazamiento, las fuerzas a distancia, las partículas virtuales, la extracción de cosas del vacío, y todo el esquisto que se ha acumulado a lo largo de los años. En esta reconstrucción, se crearán nuevos trabajos y se necesitarán nuevos proyectos. Y como esos proyectos estarán basados en teorías y ecuaciones firmes, serán mucho más productivos en todos los sentidos. Ahora mismo la física está atascada, pero una vez que se hagan esas correcciones, empezará a moverse de nuevo. El progreso siempre crea más trabajos que el estancamiento


Original en milesmathis.com

Traducción de Roberto Conde.