10 octubre, 2013

Comentario de los artículos de Mathis sobre Newton

A petición de +Alejandro Rivero, voy a dar mi opinión sobre los anteriores artículos traducidos de Mathis sobre el Lema VI de Newton y sobre a=v²/r. Para los Principia, seguiré el texto de wikisource.

En el artículo sobre el Lema VI, Mathis se lía al decirnos que el ángulo correcto para monitorizar es ABD en lugar de BAD. Debería haber seguido el argumento que creo que realmente se esconde detrás de toda su interpretación, y es que en matemáticas aplicadas, no puedes tratar de dar valores a las magnitudes en instantes ni puntos, sino siempre en intervalos.
En algún momento del artículo lo dice: "B nunca alcanza a A", pero se lía también hablando de lo que pasa en ese límite.

En el lema VI está claro que lo importante es la parte de "[...]then if the points A and B approach one another and meet[...]".

En mi opinión, la idea de que B no llega a A es la correcta. No quiero decir que sea imposible que un punto físico se acerque a otro, sino que en cuanto se encuentren, pasan a ser el mismo punto y no tiene sentido hablar de ángulos o triángulos. Es decir, todo lo que se sigue de la premisa de que B se encuentre con A y luego hablar de ellos como puntos diferentes no es más que una paradoja. Como toda paradoja, la solución está en que el enunciado era incorrecto.

¿Qué efecto tiene esto en la afirmación de Newton de que la tangente, la cuerda y el arco son iguales en el límite? En mi opinión, si llegas al límite, ni hay cuerda, ni hay tangente, ni hay arco. Hay un punto. Con lo cual no tiene sentido extrapolar de ahí los valores que tendrán cuando realmente sean segmentos o arcos.
Mi opinión a este respecto es que el modo de verlo de Mathis tiene más sentido. Si AB tiene una longitud, por pequeña que sea, existe el triángulo y la tangente será mayor que la cuerda y que BD. Si no, no podemos extraer ninguna conclusión de la relación entre estos segmentos y el arco.

¿Qué efecto tiene sobre a=v²/r? En ese artículo, Mathis usa una versión de la siguiente figura:


Newton nos plantea lo siguiente en la proposición I la siguiente descomposición lineal del movimiento orbital:
Un cuerpo sigue una trayectoria recta de AB con velocidad consante. En B recibe un impulso instantáneo hacia S. Ese impulso hace que en lugar de acabar en c, acabe en C. 

Del mimo modo ocurre en C D y E.

Si nos vamos al límite, en el que las distancias AB, BC, CD, etc. son cada vez menores, estaríamos describiendo un movimiento curvo provocado por una velocidad inicial rectilínea y una fuerza centrípeta en hacia S.
BV representa por lo tanto la aceleración centrípeta que lleva al cuerpo desde el punto B al C en lugar de c. Del mismo modo, EZ sería la aceleración centrípeta que lleva al cuerpo de E a F en lugar de a f.

Mathis argumenta que la aceleración que encuentra Newton es la de dos intervalos seguidos, uno en el que el cuerpo avanza libremente(AB), y otro en el que su trayectoria fue modificada(BC), y que por lo tanto, la aceleración en el intervalo final es la mitad. 

Para visualizar ese intervalo final, modifica la figura para el análisis del movimiento circular, dibujando la circunferencia y sólo dos pasos, además de indicar un verseno:



¿Por qué ese empeño con el verseno? Porque el verseno, en el movimiento circular, se corresponde precisamente con la mitad de esas diagonales BV o EZ, si dibujas la cuerda entre los puntos AC o DF, lo que correspondería aquí con una cuerda AC, y un verseno=d/2. Así que si os digo la verdad, no entiendo qué pretende mostrar Mathis con esta figura, ni cómo la relaciona con la de Newton.

En el texto de Newton, la parte donde se termina la derivación de a = v²/r es la proposición IV teorema IV :
The centripetal forces of bodies, which by equoble motions describe different circles, tend to the centres of the same circles; and are one to the other, as the squares of the arcs described in equal times applied to the radii applied the circles.
These forces tend to the centres of the circles (by prop. 2. and cor. 2. prop. 1) and are one to another as the versed sines of the least arcs described in equal times (by cor. 4. prop. 1.) that is, as the squares of the same arcs applied to the diameters of the circles, (by lem. 7.) and therefore since those arcs are as arcs described in any equal times, and the diameters are as the radii; the forces will be as the squares of an arcs described in the same time applied to the radii of the circles. Q. E. D.

Sinceramente, no tengo muy claro si Newton ya está diciendo con "the forces will be as" que a= v²/r o sólo que a ∝ v²/r. Yo me inclino por lo segundo.

Pero en cualquier caso, para pasar de la proporcionalidad a la igualdad, se necesita el Lema VII, que se sigue del Lema VI, y de ahí que Mathis se fuera a esos lemas para comprobarlo. Cualquier demostración de av²/r hace uso de que la tangente y el arco son lo mismo en el límite.


En esta derivación se supone que ya estamos en el límite. Entre el instante en el que estamos en A y en el que estamos en B hay una cantidad muy pequeña de tiempo dt. El triángulo de la derecha se forma llevando la base del vector que parte de B hacia A, para hallar la aceleración como diferencia de velocidades. Se puede ver que este triángulo y ABC son triángulos semejantes, y por lo tanto a/v = v/r y despejando a=/r
¿Dónde está aquí el Lema VII? En el etiquetado de v se asume que representa la velocidad orbital. v es en realidad la tangente o velocidad tangencial, que sólo es la velocidad orbital (la distancia curva recorrida o el arco por unidad de tiempo) si la tangente es igual al arco

Si Mathis tiene razón, y el Lema VI no se puede aplicar, y por lo tanto tampoco el Lema VII tampoco, entonces la tangente no es igual al arco en el límite, y se tiene que calcular de otra manera el valor exacto(no la proporción, que ya sabemos que es ∝ v²/r) de la aceleración.



Lo que hace Mathis en realidad se reduce a aproximar la longitud del arco (ACB) por la cuerda (AB) en lugar de por la tangente(AD).


En mi opinión, esto tiene más lógica si volvemos a la interpretación de la que hablaba al principio, en la que . Al no poder tratar con instantes, sino con intervalos, AB siempre tendrá longitud, y la mejor manera de aproximar el arco en esa situación es, ya que en B nos acercamos a un límite de 90º por la derecha, y en A nos acercamos a un límite de 0º por la derecha, aproximar el triángulo escaleno ABD por uno rectángulo con el ángulo recto en B. Luego, aproximas el arco ACB por AB≠AD. Si asumes AB = AD estarías diciendo que BD no tiene longitud, con lo que habrías llegado al límite en el que A, B, C y D se encuentran en el mismo punto y AB = BD = AD = ACD = 0 con lo que no podrías obtener ningún tipo de información de las relaciones entre sus longitudes, cosa que sí se puede hacer por Pitágoras si no llegas realmente al límite y aproximas ABD por un triángulo rectángulo y el arco ACB por el cateto AB.