11 octubre, 2013

Superposición cuántica

Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.




17 de Octubre de 2005

En este artículo ofreceré una explicación mecánica simple de la superposición cuántica. Proporcionaré también una visualización sencilla, una que resuelve el misterio de la superposición cuántica y el movimiento ondulatorio de las partículas.

Heisenberg y Bohr le aseguraron a todo el mundo que esto no era posible. La Interpretación de Copenhague, que todavía es la interpretación predilecta de la mecánica cuántica de los físicos contemporáneos, afirma con total seguridad que los misterios de la física cuántica son categóricamente irresolubles. Es decir, no sólo no se han resuelto, sino que son imposibles de resolver. Todas las otras interpretaciones de la mecánica cuántica están de acuerdo con esta interpretación, respecto a la imposibilidad de que haya una visualización directa o una solución mecánica simple. Algunas variantes han negado otros aspectos de la Interpretación de Copenhague, especialmente respecto a la opinión del colapso de la función de onda. Bohm, por ejemplo, ha intentado una explicación determinista de ciertas partes de la Electrodinámica Cuántica(QED), incluyendo una reinterpretación de la función de onda y del Principio de Incertidumbre. Pero ni siquiera Bohm ni Bell creían que nadie pudiera ofrecer una visualización simple que explicara la superposición cuántica o la supuesta dualidad onda-corpúsculo.

Einstein fue el que más se acercó a esta creencia. Siguió convencido de que la mecánica cuántica se explicaría finalmente de una forma más consistente. Pero, de nuevo, fue principalmente la naturaleza probabilística de la dinámica cuántica la que le molestaba, no el hecho de que no se pudieran proporcionar visualizaciones simples. No le gustaba que Dios jugara a los dados, pero no esperaba que Dios nos mostrara un esquema con cada nueva teoría.

No abordé el problema intentando encontrar una visualización o una solución mecánica simple. Sólo quería hacer que todo cobrara más sentido en mi cabeza. Pero al analizar el problema descubrí que las dificultades mecánicas no eran tan formidables como se aseguraba. Descubrí que podía visualizar fácilmente los movimientos físicos, y que podía pasar esas visualizaciones a simples palabras y diagramas. Un descubrimiento básico me permitió hacer esto, y de eso es de lo que trata este artículo.

Creo que la forma más eficiente de guiar al lector a través del problema es analizar la explicación actual de la superposición cuántica, tal como se presenta en un texto contemporáneo. Como texto usaré Quantum Mechanics and Experience, de David Albert. Elegí este libro por la misma razón que el status quo decidió publicarlo: expone la teoría de la forma más clara posible, tanto para legos como para físicos. Albert es catedrático de filosofía en la Columbia, pero ha sido acogido e instruido por muchos físicos del mainstream. Este libro se puede tomar como una expresión representativa, si no perfecta, de la teoría actual. Si no lo fuera, seguramente no habría sido publicada por la Harvard University Press.

Albert empieza eligiendo dos características medibles de un electrón. Nos dice que esas características no importan, y que podríamos llamarlas color y dureza si quisiéramos. En una nota a pie de página de la página 1 informa al lector de que experimentalmente está hablando del spin x y el spin y, pero no profundiza más. Oportunamente, esta nota a pie de página me permite dar mi primer argumento sustancial. Desde un punto de vista lógico, un electrón no puede tener momento angular en los ejes x e y al mismo tiempo—no puede si ambos giros son alrededor de un eje que lo atraviese por el centro (Albert afirma que lo son). Imagina a la Tierra girando alrededor de su propio eje. Llámale a eso el eje x. Ahora ve al eje y, que también atraviesa el centro pero con un ángulo de 90º respecto del eje x. Intenta imaginar girar la Tierra alrededor de ese eje al mismo tiempo que gira sobre el eje x. Si puedes imaginarlo, tienes una imaginación muy vívida, cuando menos*. Si eso no te convence, entonces recuerda el giroscopio y el fenómeno llamado precesión giroscópica. Un par motor aplicado al eje de rotación se desvía, de modo que el movimiento circular no se permite sobre el eje y. Puedes tener movimiento circular en sólo uno de los planos a la vez. Para ver por qué esto es así, piensa en un punto de la superficie de la esfera o del borde de una rueda. Dale un giro en el plano xy. Ahora sigue su trayectoria  mira la curva que describe. Una vez que hayas hecho eso, piensa en darle un giro en el plano zy al mismo tiempo. Tienes una segunda curva aplicada a la primera curva. Pero esas dos curvas no se pueden sumar para crear una nueva curva que el cuerpo pueda seguir como un todo. Si el cuerpo fuera libre de seguir ambas curvas desde el primer dt, entonces lo primero que haría sería deformarse gravemente. Muy pronto se retorcería hasta hacerse irreconocible. Pero los cuerpos reales no son libres de deformarse de cualquier forma posible. Ya tienen estructura a muchos niveles, y esta estructura es rígida a uno u otro nivel. Así que si intentas aplicar un segundo movimiento circular a un cuerpo real, estás aplicando una fuerza que no solo provoca un movimiento—estás aplicando una fuerza que intenta romper el propio cuerpo. Son los mismos enlaces moleculares los que te oponen resistencia. El cuerpo no quiere deformarse. Esa es la razón de que puedas aplicar un secundo giro a un líquido en movimiento circular. El líquido no se resiste a la segunda fuerza ortogonal. Pero tu segunda fuerza acaba destruyendo el movimiento circular del "cuerpo", que en un líquido no era más que un patrón de todas formas.

Dicho esto, es posible tener giros simultáneos en x e y, pero debes aplicar el segundo giro en un centro fuera del objeto. Lo que quiero decir con esto es que el electrón debe girar de punta a punta, en vez de girar alrededor del eje que le atraviesa. Volviendo al ejemplo de la Tierra, puedes ver que podemos imaginar fácilmente a la Tierra precipitándose de punta a punta a través del espacio, pues este movimiento de punta a punta no afectaría a el giro sobre su eje en nada. Un giroscopio se resiste a una fuerza a 90º, pero sólo porque tenemos fijado el centro del giroscopio respecto a la fuerza. Un giroscopio no girará de dos formas alrededor de su centro. Pero si metemos el giroscopio en un contenedor circular, podemos girar el giroscopio alrededor de un punto de la superficie de la esfera. Podemos haces eso incluso si el giroscopio está firmemente anclado al contenedor. Coge una rueda de bicicleta que esté girando y extiende el eje hacia fuera de modo que el diámetro del eje sea igual al diámetro de la rueda. Ancla los extremos de este eje firmemente a una gran esfera del mismo diámetro de modo que la rueda quede dentro de la esfera. Ahora puedes rotar la esfera alrededor de un punto de su superficie, sin que el movimiento interno provoque una precesión. Eso es así porque ya no intentas provocar dos rotaciones diferentes alrededor del mismo centro. Has creado un centro justo fuera de la influencia del primer eje.

Lo que es más interesante aún es que el círculo de esta nueva revolución ahora tiene un centro que no es estático—viaja. Y viaja de una forma muy interesante. Digamos que tienes a la Tierra girando alrededor del eje x, y le das al centro de la Tierra una velocidad constante en la dirección y. Ahora, le añadimos un giro de punta a punta, en esa misma dirección y. Ahora, ¿Qué tipo de curva total creará este giro de punta a punta para el centro de la Tierra? Creará una onda.




Deja que cale eso unos segundos. Albert asume que ambos momentos angulares se miden alrededor del mismo centro. Más aún, asume que las características o cantidades medidas no importan. Asume que el momento angular es equivalente coneptualmente a la velocidad o la posición u otro parámetro. Asume esto porque eso es lo que todos los físicos han asumido hasta ahora. Lo que importa en la QED es cómo encajar esas variables sin analizar en las ecuaciones. Acabo de mostrar que las variables de verdad importan y mucho. Toda la explicación de la QED se basa en los movimientos de esos cuerpos reales, y la explicación se puede enunciar con terminología simple y directa como hice arriba. Los dos momentos angulares no solo influyen el uno en el otro de formaas específicas y distintas; el modo en que influyen el uno al otro proporciona la base conceptual y física de la QED—una base que se ha ignorado hasta ahora.

Pero volvamos al argumento de Albert. Nos da dureza y color para el electrón para simplificar el análisis. El electrón tiene cuatro estados: blanco, negro, duro y blando. El físico tiene herramientas igualmente simples. Tiene una caja de color y una caja de dureza. Si mete un electrón desconocido, la caja de color le dirá al físico si es blanco o negro. La caja de dureza le dirá si es duro o blando.



Ahora, si el físico sólo mete electrones blancos o sólo negros en una caja de dureza, la mitad se detectarán como duros y la mitad como blandos. Del mismo modo ocurre si se meten electrones sólo duros o sólo blandos en la caja de color. Esto quiere decir, de acuerdo con Albert, que "el color de un electrón no tiene aparentemente nada que ver con su dureza" y viceversa.

El problema que encuentra el físico de Albert es que estos dos detectores simples parecen funcionar de maneras extrañas, si los pones uno detrás de otro. Si el físico pone tres cajas en fila: color, dureza, color, los porcentajes al final son difíciles de comprender. La caja de dureza del medio se prepara de forma que sólo deja pasar electrones blancos. Sólo la mitad pasan a la última caja, y se supone que son blancos. La sorpresa es que cuando medimos el color de esos electrones que salieron de la caja de dureza, encontramos que la mitad son blancos y la mitad negros. ¡Uau! Albert y la QED nos dicen que esto es un gran problema. No se puede explicar lógicamente. Albert nos dice que si físico lo intenta todo. Construye cajas de muchas formas, para hacerlas más (incluso a veces menos), precisas. No importa lo que haga. Al final sale siempre el mismo reparto al 50/50.

Este ha sido uno de los problemas centrales de la física cuántica desde el principio. Ha sido un misterio durante al menos los últimos 80 años. Pero el resultado es fácilmente explicable una vez que tienes mi análisis de arriba a mano, respecto a los diferentes giros. Digamos que tienes una muestra de electrones a los que se le va a medir el momento angular tanto en el plano zx como en el zy. Si tenemos cuatro posibles salidas, entonces debemos suponer que cada momento es o bien horario, o bien antihorario, respecto a algún observador. Ahora, sitúate en la posición del observador y mira lo que pasa. En la primera medida, miras y ves que el electrón está rotando horario alrededor de su eje x, con el eje apuntando hacia tí. Esto significa que la rotación es en el plano zy. En otras palabras, estás mirando un pequeño reloj, pues se está moviendo respecto a tí como el segundero de un reloj. El segundero está en en el plano zy. Un instante después, el electrón ha dado medio giro completo de punta a punta sobre el eje x. Esta rotación es en el plano zx, alrededor del eje y sobre el que viaja. Después de esta media vuelta, miras otra vez el segundero del reloj. Si movimiento es el mismo, pero ahora te parece antihorario.

Si eso te parece confuso, puedes realizar la visualización de arriba con un reloj de escritorio, siempre que no sea digital. Mantén el reloj delante tuya. Sus manecillas giran en sentido horario, y representan el giro en el eje x. Ahora dale al reloj entero un giro en el plano y, simplemente dándole media vuelta de punta a punta. Si haces esto estarás mirando la parte de atrás del reloj. Las manecillas ahora giran en sentido antihorario respecto a tí. Es así de simple. Eso es todo lo que estoy diciendo. El segundero del reloj gira sobre un eje x que apunta directamente hacia tí. Luego giras el reloj entero sobre el eje y. Muy elemental, pero nos muestra que el giro en x del electrón debe ser variable, si lo mides relativo a un observador externo al electrón. Si el electrón tiene tanto giro en x como en y, entonces el giro en x será variable, al medirlo desde un dispositivo estacionario. Sólo un observador que viaje con el electrón medirá su giro consistentemente como siempre horario o siempre antihorario. Lo mismo se aplica al revés. Si estás midiendo el otro momento angular, entonces tendrás una variación periódica del primero.

Podrías decir que el giro cambia debido a la Relatividad, pero eso sería complicar innecesariamente la situación. No necesitamos transformadas aquí, y el tipo de relatividad simple que acabo de describir se conocía mucho antes de Einstein. Es cierto que mi análisis usa la relatividad para encontrar una solución, pero es la relatividad más simple pre-Einstein. Es símplemente decir que un observador debe prestar atención a cómo cambia el objeto que mide a lo largo del tiempo. Un dispositivo de medida, ya sea un ojo o un detector de electrones, es un marco de referencia constante, y un electrón que gira mostrará una variación respecto a ese dispositivo en insantes diferentes, como acabo de mostrar. No hay nada esotérico al respecto, aunque supongo que es algo sutil de lo que percatarse.

Una vez que aplicamos esto a nuestros dispositivos de medida, sean los que sean, vemos que debe afectar a nuestros resultados favorablemente. Volvamos al interior de la primera caja. Estaba midiendo color, así que le asignamos el color a la rotación del segundero. Blanco es horario, negro es antihorario. La caja descubre que algunos electrones son blancos y otros negros. Para distinguir esto, debe aplicar algún campo o fuerza sobre ellos durante algún pequeño intervalo de tiempo dt. Imaginemos, para simplificar, que la caja pone a los electrones en una pasarela, como al ganado, y los hace pasar a todos por la misma puerta. Esta puerta es como un detector de metal de un aeropuerto, salvo que toma una imagen del electrón a medida que pasa rápidamente a su través. Tiene una apertura muy pequeña, una apertura dt. Si el electrón era horario durante ese dt, entonces la caja lo saca por la puerta balnca. Si era antihorario durante ese dt, la caja lo saca por la puerta negra.

Esto es, de hecho, muy parecido al modo en que funcionan los detectores. No toman fotos, por supuesto, sino que algún tipo de fuerza o campo los separa en electrones blancos o negros. El campo puede no limitarse a un dt, pero la primera impresión del campo es crucial. Los electrones se mueven muy rápido, y los periodos de tiempo son bastante pequeños. El campo no tiene tiempo de sacar un montón de fotos y cambiar de opinión.

Lo que quiere decir todo esto es que el color y la dureza no son constantes. Cada electrón es a la vez blanco y negro y duro y blando en cada momento. Pero es todas estas cosas sólo si las acumulas durante un periodo de tiempo con alguna extensión. En cada dt, es o duro o suave, o blanco o negro. No es ambas cosas al mismo tiempo. En una medida, será una cosa o la otra. A lo largo de una serie de medidas, será las dos cosas.

Esta es la sutileza en la que nunca penetró la QED. Explica los problemas de arriba de este modo: Si metes electrones como los que he descrito en una caja de color, la caja de color ve algunos de ellos negros y otros blancos durante el dt medido. Pero en realidad no son ni blancos ni negros cuando salen—siguen siendo potencialmente de los dos colores, dependiendo del punto de la onda en el que midas. Si midieras los blancos al salir de la caja en un punto diferente de la onda, los verías negros, y vicecersa. Ahora, la determinación del color es repetible, pues una caja similar capturará a los electrones del mismo modo. Todas las cajas de color suelen encuadrar y canalizar a los electrones del mismo modo, así que el grupo que sale es coherente. Una segunda caja de color deberá medir lo mismo que la primera. 

Lo que pasa en la segunda caja (la caja de dureza) resuelve el misterio. La segunda caja crea coherencia en el segundo momento angular. Esto asegura que las otras cajas de dureza hallarán la misma dureza. Pero al crear esta coherencia, la segunda caja re-aleatoriza la primera variable. ¿Por qué lo hace? Lo hace porque la longitud de onda de los dos momentos angulares es diferente. Si la primera longitud de onda era R, por el radio del electrón, entonces tenemos que darle la segunda una longitud de onda 2R, por el diámetro. Esto es simplemente porque la segunda longitud de onda la provoca la rotación de punta a punta. Una es la mida de la otra, así que no puedes crear coherencia en las dos a la vez.

Te puedo mostrar esto con ondas simples en dos dimensiones. Estudia el diagrama de abajo. Tenemos dos combinaciones enfrentadas de ondas ½ y 1. Si sincronizas las ondas ½, las ondas 1 no lo están. Si sincronizas las ondas 1, las ondas ½ no lo están. No puedes sincronizar ambas. Esto es, en esencia, lo que está pasando en la segunda caja. Las ondas de dureza se hacen coherentes, de modo que las ondas de color se desincronizan. La tercera caja las mide como un 50% de un tipo y un 50% del otro.



Puedes ver que resuelto simultáneamente el problema de la superposición cuántica y el problema del movimiento ondulatorio de las partículas cuánticas. Lo he hecho simplemente percatándome de que el segundo momento angular debe ser alrededor de un centro que está justo fuera del objecto. Es decir, el giro en y es de punta a punta.

A toro pasado, parece asombroso que no se viera esto antes. La razón por la que no se ha visto es que Heisenberg y Bohr convencieron a todo el mundo muy pronto de que la Mecánica Cuántica no se podía explicar con visualizaciones lógicas y simples. Nadie se ha molestado en aplicar un poco de sentido común a la situación física. Estaban tan seguros de que no se podía hacer, que ni siquiera intentaron abordar el problema desde una perspectiva visual o mecánica. Este aprieto creció pronto como una bola de nieve, pues a medida que más y más grandes físicos estudiaron el problema y fracasaron al explicarlo, los físicos que venían después se convencían más y más de que no se podía resolver. No querían malgastar su tiempo escudriñando algo que cada genio desde Bohr a Feynman ya había escudriñado. Hacer eso no sólo parecía una tontería, sino un sacrilegio. Pero el hecho es que no ha habido nadie desde Bohr que intentara seriamente hacer que el problema tuviera sentido clasicamente. Los físicos que llegaban después de Bohr aceptaban su palabra, y los físicos contemporáneos han llegado a un punto en el que la mayoría ni siquiera quiere una explicación mecánica de la QED. Las siniestras paradojas son más divertidas. Dan mejores titulares.

Puedes ir ahora a mi segundo artículo sobre la superposición cuántica[por traducir], para ver un experimento similar resuelto de forma incluso más rápida y transparente. El experimento es el famoso experimento de dos divisores de haz y dos espejos. En ese artículo también proporciono más diagramas que os pueden ser de ayuda a muchos de vosotros.

Un problema relacionado es el del entrelazamiento cuántico, que analizo y resuelvo en este otro artículo[por traducir].

Más recientemente, he destrozado los tests de Bell CHSH[por traducir], desvelando la terrible trampa matemática en la base de esos experimentos. Eso deja al entrelazamiento hecho jirones. 

Para ver cómo mi solución destruye la no localidad, puedes ir a este reciente artículo[por traducir], que incluso te da unas nuevas ecuaciones de la función de onda—incluyendo los nuevos grados de libertad que descubrí más arriba.

Creo que es obvio que el giro de punta a punta en la dirección y se puede aplicar a otros problemas, incluyendo la propagación de los fotones[por traducir], el experimento de doble rejilla[por traducir], y demás. En artículos posteriores aplicaré mi descubrimiento al electrón y al protón[por traducir] y a una larga lista de mesones[por traducir], para mostrar que los mismos cuatro giros apilados pueden explicar toda estructura y movimientos cuánticos. También tengo mucho más que decir sobre otros problemas específicos en QED y QCD(cromodinámica cuántica)[por traducir], y su solución mediante un análisis directo y lógico.

Addendum, Febrero de 2012: Un lector atento me acaba de pedir una clarificación sobre los giros que se exponen aquí. Señaló que la Tierra tiene un bamboleo en su giro. ¿Ese no es parte de un segundo giro, pues es a lo largo de un eje distinto al eje original? Si continuamos el bamboleo, podríamos crear un giro completo en cada dirección. Le respondí: Excelente pregunta, e incluso la añadiré a mi artículo sobre superposición, para aclarar la confusión. Veamos tu bamboleo de la Tierra, para llegar al fondo de esto. El bamboleo de la Tierra no está provocado por dos giros sobre ejes diferentes, como en mi ejemplo. Está provocado por un movimiento del primer eje. Permitimos a la Tierra girar sobre, digamos, el eje z, y luego movemos ese eje z. Sí, podemos girar realmente el eje z, moviendo el polo norte hacia el sur, y creo que es a lo que estás refiriendo. Tenemos giros en dos planos, lo que parece demostrar tu razonamiento. Podríamos llamarle a ese giro del eje z giro en x o giro en y, y parece que me habrías refutado. Sin embargo, no me has refutado, pues estamos hablando de cosas diferentes. Si renombras el giro del eje z como giro en x no será el mismo que el giro en x que estoy prohibiendo. ¿He prohibido el giro en x e y a la vez, no? Bien, estoy prohibiendo el giro original en x, el que es el mismo tipo de movimiento que el giro original en z. Que es un giro alrededor de un eje. Has encontrado un giro del eje, no un giro alrededor de un eje. Así que mi argumento se mantiene. Ese giro alrededor de un eje x sigue siendo prohibido. De hecho, tu nuevo giro sobre x es el mismo que mi giro de punta a punta en x, pues si le diéramos a la tierra un movimiento lineal cualquiera, tu giro en x parecería de punta a punta. Que los polos norte y sur se intercambien es un giro de punta a punta, ¿no? El lector respondió entonces Sí, eso lo aclara, pero todavía está el tema del punto de giro. Dices que el giro de punta a punta tiene que ser sobre un punto al final de z. Te he recordado que podemos girar z sobre su centro. ¿Qué pasa entonces? Respondí: admito que podría ser lo uno o lo otro. De las dos formas se crea lo que yo llamaría un giro de punta a punta. Pero mi forma me permite crear mi ecuación de giro cuántico, que responde un montón de preguntas que han estado en las sombras. Así que el argumento para mi forma sale de los datos. El cuanto podría girar de tu manera, pero de hecho, no creo que lo hagan. La ecuación de giro no encajaría con los datos. Para ser específicos, si dejamos que el eje z gire alrededor de su centro en vez de alrededor de un extremo, no conseguimos la duplicación del radio con cada giro apilado. Necesitamos eso. Ve aquí[por traducir] para la ecuación de giro de la que estoy hablando. Y para la razón física de que los giros se apilen de esta forma, girando alrededor de un punto del extremo del eje z, no veo la respuesta aún. Sospecho que es algo similar a la fuerza centrífuga, y que el veloz primer giro empuja a los giros adicionales al "borde". También podría tener algo que ver con la imperfección en la esfericidad del giro inicial. Se supone que se ha demostrado que el electrón es increíblemente esférico, pero nada es perfectamente esférico, supongo. Cualquier imperfección podría provocar que los giros posteriores fueran empujados hacia afuera de ese modo. Si alguien tiene una teoría mejor, puede mandarme un correo electrónico. No diría que sea crucial, pero estaría bien descubrirlo.

Actualización, 2013. Lo he descubierto yo mismo la siguiente vez que he releído este artículo. Para entender por qué el segundo giro del fotón gira sobre un punto en la superficie original del giro, tenemos que atender a la causa de ese segundo giro. He mostrado previamente que debe estar provocado por la colisión con otro fotón. El primer fotón acumula un segundo giro sobre el primero porque no puede girar más rápido en su primer eje. Ya ha llegado a una velocidad de giro c, y si se topa con una colisión de giro positivo que incrementaría su energía de giro, sólo puede acumular esa energía extra creando otro giro. Bien, puesto que el punto de colisión está en la superficie exterior, el fotón gira naturalmente alrededor de ese punto. El segundo giro debe tomar como nuevo centro el punto de esa colisión.

Original en milesmathis.com

Traducción de Roberto Conde.

10 octubre, 2013

Comentario de los artículos de Mathis sobre Newton

A petición de +Alejandro Rivero, voy a dar mi opinión sobre los anteriores artículos traducidos de Mathis sobre el Lema VI de Newton y sobre a=v²/r. Para los Principia, seguiré el texto de wikisource.

En el artículo sobre el Lema VI, Mathis se lía al decirnos que el ángulo correcto para monitorizar es ABD en lugar de BAD. Debería haber seguido el argumento que creo que realmente se esconde detrás de toda su interpretación, y es que en matemáticas aplicadas, no puedes tratar de dar valores a las magnitudes en instantes ni puntos, sino siempre en intervalos.
En algún momento del artículo lo dice: "B nunca alcanza a A", pero se lía también hablando de lo que pasa en ese límite.

En el lema VI está claro que lo importante es la parte de "[...]then if the points A and B approach one another and meet[...]".

En mi opinión, la idea de que B no llega a A es la correcta. No quiero decir que sea imposible que un punto físico se acerque a otro, sino que en cuanto se encuentren, pasan a ser el mismo punto y no tiene sentido hablar de ángulos o triángulos. Es decir, todo lo que se sigue de la premisa de que B se encuentre con A y luego hablar de ellos como puntos diferentes no es más que una paradoja. Como toda paradoja, la solución está en que el enunciado era incorrecto.

¿Qué efecto tiene esto en la afirmación de Newton de que la tangente, la cuerda y el arco son iguales en el límite? En mi opinión, si llegas al límite, ni hay cuerda, ni hay tangente, ni hay arco. Hay un punto. Con lo cual no tiene sentido extrapolar de ahí los valores que tendrán cuando realmente sean segmentos o arcos.
Mi opinión a este respecto es que el modo de verlo de Mathis tiene más sentido. Si AB tiene una longitud, por pequeña que sea, existe el triángulo y la tangente será mayor que la cuerda y que BD. Si no, no podemos extraer ninguna conclusión de la relación entre estos segmentos y el arco.

¿Qué efecto tiene sobre a=v²/r? En ese artículo, Mathis usa una versión de la siguiente figura:


Newton nos plantea lo siguiente en la proposición I la siguiente descomposición lineal del movimiento orbital:
Un cuerpo sigue una trayectoria recta de AB con velocidad consante. En B recibe un impulso instantáneo hacia S. Ese impulso hace que en lugar de acabar en c, acabe en C. 

Del mimo modo ocurre en C D y E.

Si nos vamos al límite, en el que las distancias AB, BC, CD, etc. son cada vez menores, estaríamos describiendo un movimiento curvo provocado por una velocidad inicial rectilínea y una fuerza centrípeta en hacia S.
BV representa por lo tanto la aceleración centrípeta que lleva al cuerpo desde el punto B al C en lugar de c. Del mismo modo, EZ sería la aceleración centrípeta que lleva al cuerpo de E a F en lugar de a f.

Mathis argumenta que la aceleración que encuentra Newton es la de dos intervalos seguidos, uno en el que el cuerpo avanza libremente(AB), y otro en el que su trayectoria fue modificada(BC), y que por lo tanto, la aceleración en el intervalo final es la mitad. 

Para visualizar ese intervalo final, modifica la figura para el análisis del movimiento circular, dibujando la circunferencia y sólo dos pasos, además de indicar un verseno:



¿Por qué ese empeño con el verseno? Porque el verseno, en el movimiento circular, se corresponde precisamente con la mitad de esas diagonales BV o EZ, si dibujas la cuerda entre los puntos AC o DF, lo que correspondería aquí con una cuerda AC, y un verseno=d/2. Así que si os digo la verdad, no entiendo qué pretende mostrar Mathis con esta figura, ni cómo la relaciona con la de Newton.

En el texto de Newton, la parte donde se termina la derivación de a = v²/r es la proposición IV teorema IV :
The centripetal forces of bodies, which by equoble motions describe different circles, tend to the centres of the same circles; and are one to the other, as the squares of the arcs described in equal times applied to the radii applied the circles.
These forces tend to the centres of the circles (by prop. 2. and cor. 2. prop. 1) and are one to another as the versed sines of the least arcs described in equal times (by cor. 4. prop. 1.) that is, as the squares of the same arcs applied to the diameters of the circles, (by lem. 7.) and therefore since those arcs are as arcs described in any equal times, and the diameters are as the radii; the forces will be as the squares of an arcs described in the same time applied to the radii of the circles. Q. E. D.

Sinceramente, no tengo muy claro si Newton ya está diciendo con "the forces will be as" que a= v²/r o sólo que a ∝ v²/r. Yo me inclino por lo segundo.

Pero en cualquier caso, para pasar de la proporcionalidad a la igualdad, se necesita el Lema VII, que se sigue del Lema VI, y de ahí que Mathis se fuera a esos lemas para comprobarlo. Cualquier demostración de av²/r hace uso de que la tangente y el arco son lo mismo en el límite.


En esta derivación se supone que ya estamos en el límite. Entre el instante en el que estamos en A y en el que estamos en B hay una cantidad muy pequeña de tiempo dt. El triángulo de la derecha se forma llevando la base del vector que parte de B hacia A, para hallar la aceleración como diferencia de velocidades. Se puede ver que este triángulo y ABC son triángulos semejantes, y por lo tanto a/v = v/r y despejando a=/r
¿Dónde está aquí el Lema VII? En el etiquetado de v se asume que representa la velocidad orbital. v es en realidad la tangente o velocidad tangencial, que sólo es la velocidad orbital (la distancia curva recorrida o el arco por unidad de tiempo) si la tangente es igual al arco

Si Mathis tiene razón, y el Lema VI no se puede aplicar, y por lo tanto tampoco el Lema VII tampoco, entonces la tangente no es igual al arco en el límite, y se tiene que calcular de otra manera el valor exacto(no la proporción, que ya sabemos que es ∝ v²/r) de la aceleración.



Lo que hace Mathis en realidad se reduce a aproximar la longitud del arco (ACB) por la cuerda (AB) en lugar de por la tangente(AD).


En mi opinión, esto tiene más lógica si volvemos a la interpretación de la que hablaba al principio, en la que . Al no poder tratar con instantes, sino con intervalos, AB siempre tendrá longitud, y la mejor manera de aproximar el arco en esa situación es, ya que en B nos acercamos a un límite de 90º por la derecha, y en A nos acercamos a un límite de 0º por la derecha, aproximar el triángulo escaleno ABD por uno rectángulo con el ángulo recto en B. Luego, aproximas el arco ACB por AB≠AD. Si asumes AB = AD estarías diciendo que BD no tiene longitud, con lo que habrías llegado al límite en el que A, B, C y D se encuentran en el mismo punto y AB = BD = AD = ACD = 0 con lo que no podrías obtener ningún tipo de información de las relaciones entre sus longitudes, cosa que sí se puede hacer por Pitágoras si no llegas realmente al límite y aproximas ABD por un triángulo rectángulo y el arco ACB por el cateto AB.




09 octubre, 2013

Una refutación de los lemas fundamentales de Newton (II)

Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.



Parte segunda y última. (Viene de la primera parte)


Hay otra manera de analizar el problema de Newton, y puede ser la más interesante de todas (para algunos). En los Principia, el lenguaje de Newton al describir este problema (Lema VI) es este: "si los puntos A y B se acercan uno al otro..." Dos cosas merecen nuestra atención aquí. Una, A no puede acercarse a B sin deshacer la geometría. Si emprezamos a mover el punto A, destruímos nuestro ángulo rectángulo. Lo que quiere decir es lo que dije arriba: Que B se acercque a A. Para ser rigurosos, deberíamos hacer que un punto permanezca estático y hacer que el otro punto se mueva. Si dejamos que ambos se muevan, creamos problemas innecesarios. La otra cosa que merece atención es la palabra "acercan". Newton está postulando movimiento. Como confirmación de esto, sólo tenemos que mirar el título de esta sección: "De la Filosofía Natural". La filosofía natural no es matemáticas puras, es física. Newton está describiendo una filosofía o estudio de la naturaleza, lo que ahora nosotros llamamos física. La naturaleza no es pura, es física. Por lo tanto este lema debe ser parte de lo que llamamos matemáticas aplicadas. Si esto es así, entonces el tiempo debe estar involucrado. Como afirmaba arriba, Newton está estudiando un intervalo decreciente para analizar el movimiento curvo. Usa este análisis inmediatamente después para aplicarlo a una órbita, por ejemplo. Así que tanto el movimiento como el tiempo están involucrados en el análisis de Newton. Sólo por esta razón, su ángulo BAD no puede desaparecer. Eso sería llevar el problema a un intervalo de tiempo cero, y no existe tal cosa como un intervalo de tiempo cero en física. No puedes estudiar el movimiento y luego postular un intervalo de tiempo cero, pues el movimiento está definido por un intervalo de tiempo no nulo. Si tienes un intervalo de tiempo cero, no tienes movimiento, por definición. Simplemente por usar la palabra "acercarse", Newton ha descartado un intervalo de tiempo cero. Su intervalo se puede hacer más y más pequeño, hasta el punto que quiera, pero no puede desaparecer. Por definición, "acercarse" y "desaparecer" se excluyen mutuamente.

Pero se pone incluso más interesante. Usando sólo el concepto del límite, este problema no se puede resolver en absoluto. Es decir, si hacemos que nuestro ángulo en R sea θ, entonces BAD = θ/2 y ABD = π/2 + θ/2.



Si hacemos que θ tienda a cero, entonces BAD y ABD se acercan al límite del mismo modo. El concepto de límite no apoya este análisis. No, apoya el análisis de Newton, pues históricamente surgió de su análisis. El concepto de límite fracasa al explicar por qué hallamos soluciones no nulas en el límite tanto para la cuerda como para la tangente, y fracasa porque su análisis es defectuoso del mismo modo en que he mostrado que el de Newton lo es. El análisis del límite trata el problema completo como un problema abstracto o de matemáticas puras, pero es un problema físico. Aquí están involucrados el movimiento y el tiempo. Lo que quiere decir que debemos tener necesariamente una separación temporal entre A y B. Como tenemos movimiento, no podemos tener un intervalo cero. Si no tenemos un intervalo cero, entonces debemos tener una separación temporal. Dicho de este modo, llegamos a... sí, la Relatividad. Si este es un problema físico, entonces A y B no pueden existir al mismo tiempo, operacionalmente. Un evento en B no puede ser exactamente igual que el mismo evento visto desde A. Si pensamos en la medición de un ángulo como un evento físico en lugar de una cantidad geométrica abstracta, los ángulos en un diagrama como este se deben analizar desde un punto de vista físico.

Algunos pensarán que estoy complicando el problema más de lo necesario, o inventándome soluciones esotéricas, pero considera este hecho: los estudios gravitatorios de Newton y sus proporcionalidades salieron de este libro, los Principia, de hecho de esta misma sección. ¿No es extraño que las correcciones de la Relatividad de Einstein se hayan aplicado a la gravedad, pero no a la órbita? El diagrama de arriba es un estudio preliminar de la órbita, y sientan las bases de a=v²/r, y nunca se han beneficiado de un análisis relativista hasta ahora. Creemos que la gravedad provoca la órbita, y aún así hacemos un análisis relativista de la gravedad pero no de la órbita. Muy extraño.

El modo en que la Relatividad soluciona este problema de una vez por todas es que nos proporciona una forma de separar θ/2 en B de θ/2 en A. De acuerdo con el análisis del límite, ambos ángulos disminuyen del mismo modo. Pero como están separados espacialmente, no pueden actuar del mismo modo. De acuerdo con la Relatividad, debemos elegir un punto y medirlo todo desde ahí. Debemos estudiar el problema desde A o desde B, no podemos estudiar el problema desde ambos lugares a la vez. Dado que hemos atribuido el movimiento al punto B, debemos hacer que ese sea nuestro lugar de medida. En otras palabras, en este problema, existimos en B. El evento está en B. Hagamos que ese evento sea π/2 + θ/2 tendiendo al límite. θ tiende a cero, así que ABD tiende a 90º. Por supuesto, BAD también tiende a cero, pero hay un retraso temporal. Visto o medido desde B, la información de A debe llegar tarde, o al revés. Por lo tanto, medido desde B, el límite en B debe alcanzarse antes del límite en A. O, dado que he mostrado que los límites nunca se alcanzan de ningún modo, especialmente cuando esos límites están en cero, sería más riguroso decir que θ/2 es más pequeño en B, medido desde B, que θ/2 en A. Dada la separación temporal, los ángulos iguales no son tan iguales.

Por supuesto, a mucha gente no lo gustará este análisis. Algunos lo encontrarán fascinante y a otros le parecerán paparruchas. Francamente, yo mismo prefiero el análisis simple: no podemos proponer un intervalo de tiempo cero, por lo que los ángulos pueden desaparecer, por lo que los segmentos no pueden igualarse. No importa cómo de pequeños sean, para hablar de movimiento tenemos que tener un intervalo de tiempo real. Siempre y cuando tengamos un intervalo de tiempo real, tenemos un triángulo. Siempre y cuando tengamos un triángulo, tenemos una tangente mayor que la cuerda. Nos "acercamos" al límite, no "alcanzamos" el límite. Dicho esto, creo que el análisis relativista también es correcto. Cada análisis llega a la respuesta correcta, usando ideas que son físicamente correctas y físicamente reales. Para ser consistentes, si aplicamos separaciones temporales al campo gravitatorio, debemos aplicárselas también a la órbita. La gravedad no puede causar físicamente la órbita, si aplicas Relatividad a la gravedad y no a la órbita. Como toda la sección del libro de Newton en cuestión aquí es física, debemos aplicarle la Relatividad a toda ella, o a ninguna. Einstein actualizó el análisis de Newton de la gravedad, y yo acabo de hacer lo mismo para la órbita.

Conclusión


Mi descubrimiento en este artículo afecta a muchas cosas, tanto en matemáticas puras como en matemáticas aplicadas. He demostrado, de forma muy directa, que cuando aplicamos el cálculo a una curva, las variables o funciones no tienden a cero o a la igualdad en el límite. Esto debe tener consecuencias tanto para la Relatividad General, que es cálculo tensorial aplicado a áreas muy pequeñas de espacio curvo, como para la Electrodinámica Cuántica(QED), que aplica el cálculo de muchas formas, incluyendo órbitas cuánticas y acoplamiento cuántico. La QED se ha encontrado con muchos problemas precisamente cuando intenta llevar a las variables a cero, necesitando la renormalización. Mi análisis implica que las variables no tienden físicamente a cero, así que la premisa de regresión infinita no es más que un error de concepto. El límite matemático de las variables calculables—ya sea en física cuántica o clásica—nunca es cero. Sólo una de un conjunto de variables tiende a cero o a un límite de tipo cero (como el ángulo de 90º). Las otras variables son no nulas en el límite. Para la QED, esto significa que cuando se alcanza el límite de Planck, los límites de tiempo y longitud también se han alcanzado. Ni las variables temporales ni las espaciales pueden tender a cero cuando se usan en las ecuaciones de momento o energía de la QED. De hecho, más allá de la lógica que he usado aquí, es una contradicción asumir que los valores de la energía no tengan una regresión continua e infinita hacia cero, pero los valores de la longitud y de tiempo sí.

Esto no quiere decir que el tiempo y el espacio estén cuantizados; sólo quiere decir que en las situaciones en las que empíricamente la energía se encuentra cuantizada, se debería esperar que las otras variables también lleguen a un límite por encima de cero. Las ecuaciones cuantizadas deben proporcionar variables cuantizadas. El espacio y el tiempo bien podrían ser continuos, pero nuestros hallazgos—nuestras mediciones o cálculos—no pueden serlo. Es decir, podemos imaginar encogernos y usar pequeñas reglas para demarcar pequeñas sub-áreas cuánticas. Pero no podemos calcular sub-áreas cuánticas cuando una de nuestras variables principales—la energía—llega a un límite por encima de esas sub-áreas, ni cuando todos nuestros datos llegan a ese mismo límite. La única manera en la que podemos acceder a esas sub-áreas con las variables que tenemos es si encontráramos un cuanto más pequeño.

Como he dicho, también ha habido confusión respecto a este punto en el cálculo tensorial. En la sección 8 del artículo de Einstein sobre Relatividad General, le da un volumen a un conjunto de coordenadas que identifican un punto o evento. Le llama al volumen de este punto el volumen "natural", aunque no nos dice que tiene de "natural" que un punto tenga un volumen. La Relatividad General empieza [sección 4] postulando un punto y un tiempo en el espacio dado por las coordenadas dX1, dX2, dX3, dX4. Este conjunto de coordenadas identifica un evento, pero todavía se entiende que es un punto en un instante. Esto está claro pues directamente después otro conjunto de funciones se da en la forma dx1, dx2, dx3, dx4  Esas, se nos dice, son "diferenciales definidas" entre "dos eventos puntuales infinitamente próximos". El volumen de esos diferenciales se proporciona en la ecuación 18 como:

dτ = ∫dx1dx2dx3dx4

Pero también se nos proporciona el volumen "natural" dτ0, que es el "voluemn dX1, dX2, dX3, dX4". Este volumen natural se nos proporciona en la ecuación 18a:


      But we are also given the “ natural” volume dτ0, which is the "volume dX1, dX2, dX3, dX4". This natural volume gives us the equation 18a:
dτ0 = √-g

Luego Einstein dice, "Si √-g fuera a desaparecer en un punto del continuo tetradimensional, significaría que en ese punto, un volumen 'natural' infinitamente pequeño se correspondería con un volumen finito en las coordenadas. Asumamos que este nunca es el caso. Entonces g no puede cambiar de signo...Siempre tiene un valor finito."

De acuerdo con mi refutación de arriba, todo esto debe ser un uso inadecuado del cálculo, un uso que no se ha mejorado en absoluto al importar los tensores al problema. En ningún tipo de cálculo se le puede dar un volumen a un conjunto de funciones que definen un evento puntual—ni natural, ni antinatural, no de otro tipo. Si dX1, dX2, dX3, dX4 es un evento puntual en el espacio, entonces no puede tener volumen, y la ecuación 18a y todo lo que la rodea es una entelequia.

En el análisis final esto se debe simplemente a la definición de "evento". Un evento debe definirse por algún movimiento. Si no hay movimiento, no hay evento. Todo movimiento requiere un intervalo. Incluso un no-evento como un cuanto perfectamente estático implica movimiento en el campo tetravectorial, pues el tiempo debe pasar. El no-evento tendrá un intervalo de tiempo. Estar en reposo requiere un intervalo de tiempo y el movimiento requiere intervalos tanto de tiempo como de espacio. Por lo tanto el evento se determina completamente con intervalos. No coordenadas, intervalos. El punto y el instante no son eventos. Sólo son fronteras, fronteras que son imposibles de dibujar con precisión absoluta. El instante y el punto son el principio y el final de un intervalo, pero son abstracciones y estimaciones, no entidades físicas ni coordenadas espaciales precisas.

Algunos contestarán que acabe de disculpar a Einstein, salvándolo de mi propia crítica. Después de todo, le da un intervalo teórico al punto. La misma función dX está en forma diferencial, lo que le daría una posible extensión. Puede llamarla un punto, pero la viste de diferencial. Cierto, pero no le permite actuar como un diferencial, como acabo de mostrar. Le impide que corresponda a (parte de) un volumen finito, pues eso arruinaría sus matemáticas. No permite que √-g desaparezca, lo que impide que el volumen "natural" invada el espacio curvo.

Las nuevas versiones de este mismo espacio de Riemman no han resuelto esta confusión, lo que es una de las razones principales de que la Relatividad General todavía se resista a ser incorporada en la QED. Los físicos contemporáneos todavía creen en el evento puntual, en el punto como entidad física (véase la singularidad) y en la realidad del instante. Todas esas falsas nociones se remontan a una mala comprensión del cálculo. Los fundamentos "más rigurosos" de Cauchy, usando el límite, la función, y la derivada, deberían haber aclarado esta confusión, pero sólo la enterraron. Se asumió que el problema estaba resuelto al haberlo puesto completamente fuera de vista. Pero no fue resuelto. Se hace un mal uso del cálculo de forma rutinaria en aspectos fundamentales hasta el día de hoy, incluso (y especialmente, debería decir) en los campos de estudio más avanzados y por los nombres más importantes.



Traducción de Roberto Conde

08 octubre, 2013

Una refutación de los lemas fundamentales de Newton (I)



Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.


Primera parte (de dos). Pulsa aquí para la segunda parte.



Newton publicó sus Principia en 1687. Excepto por las correcciones de la Relatividad de Einstein, el grueso del texto ha permanecido sin oposición desde entonces. Ha sido la espina dorsal de la trigonometría, el cálculo, y la física clásica y, en su mayor parte, lo es. Es el texto fundamental de cinemática, gravedad y otros muchos temas.

En este artículo mostraré una refutación simple y directa de uno de los primeros y más fundamentales lemas, un lema que sigue siendo a día de hoy la base del cálculo y la trigonometría. Mi corrección es importante—a pesar de la antigüedad del texto que estoy criticando—debido simplemente a la continuada importancia de ese texto en las matemáticas modernas y la ciencia. Mi corrección clarifica los fundamentos del cálculo, unos fundamentos que, a día de hoy, son de gran interés para los matemáticos puros. En la mitad del siglo pasado, matemáticos prominentes como Abraham Robinson han seguido trabajando en los fundamentos del cálculo (véase el Análisis no estándar). Incluso en estas últimas fechas de la historia, deben seguir siendo de interés las correcciones matemáticas y analíticas importantes, y un descubrimiento como el contenido en este artículo es crucial para nuestro entendimiento de las matemáticas que hemos heredado. Esta corrección nunca se ha abordado en la modificación histórica del cálculo, ni por Cauchy ni por nadie más. Redefinir el cálculo basándose en las consideraciones referentes al límite no afecta para nada en el análisis geométrico y trigonométrico que ofreceré.

El primer lema en cuestión aquí es el Lema VI, del Libro I, sección I ("Del movimiento de los cuerpos"). En ese lema, Newton proporciona el diagrama de abajo, donde AB es la cuerda, AD es la tangente y ACB es el arco. Nos dice que si hacemos que B se acerque a A, el ángulo BAD debe desvanecerse finalmente. En lenguaje moderno, nos dice que el ángulo tiende a cero en el límite.




Esto es falso por la siguiente razón: Si hacemos que B se acerque a A, tenemos que monitorizar el ángulo ABD, no el ángulo BAD. A medida que B se acerca a A, el ángulo ABD se acerca a un ángulo recto. Cuando B alcanza por fin a A, el ángulo ABD será un ángulo recto. Por lo tanto, el ángulo ABD nunca puede ser agudo. Sólo si imagináramos que B sobrepasa a A podríamos imaginar que el ángulo ABD fuera agudo. E incluso entonces, el ángulo no sería realmente agudo, pues estaríamos en una especie de intervalo de tiempo negativo. Newton usa A como su punto cero, para que no podamos cruzar en realidad ese punto sin llegar a una especie de intervalo negativo, especialmente porque estamos hablando del movimiento de cuerpos reales.

[He añadido este párrafo después de charlas con muchos lectores, que no pueden visualizar aquí la manipulación. Es muy simple: debes deslizar la línea RBD al completo hacia A, manteniéndola siempre recta. Esta es la visualización de Newton, y no la he cambiado aquí. No estoy cambiando sus postulados físicos, estoy analizando su geometría con más rigor del que él mismo consiguió.]

Si estamos llevando B hasta A, y no debe sobrepasar A, entonces el ángulo ABD tiene su límite en 90º. Cuando ABD está en 90º, el ángulo BAD no puede ser cero. Esto quedará claro como el agua en un momento cuando miremos la longitud de la tangente en el límite, pero por ahora baste decir que si el ángulo BAD fuera cero, entonces ADB debería ser también de 90º, lo que es imposible de proponer. Un triángulo no puede tener dos ángulos de 90º.

En el Lema VII, Newton usa el lema anterior para mostrar que en el límite, la tangente, el arco y la cuerda son todos iguales. Acabo de refutar esto al mostrar que el ángulo ABD es de 90º en el límite. Si ABD es de 90º en el límite, entonces la tangente debe ser más grande que la cuerda. Por favor, ten en cuenta que si AB y AD son iguales, entonces ABD debe ser de menos de 90º. Pero he mostrado que ABD no puede ser menor de 90º. B tendría que sobrepasar A, lo que nos pondría en un intervalo de tiempo negativo. Si B no puede sobrepasar A (siendo A el límite) entonces la tangente nunca puede ser igual a la cuerda, ni cuando se acerca al límite, ni en el límite.

Esto confirma mi aseveración anterior de que el ángulo BAD no puede hacerse cero. Si la tangente es mayor que la cuerda en el límite, entonces esa es una razón más para que el ángulo BAD deba ser mayor que cero, incluso en el límite. Si AD es mayor que AB, entonces DB debe ser mayor que cero. Si DB es mayor que cero, entonces BAD es mayor que cero.

Todo esto lo provoca el hecho de que el ángulo ABD llega a 90º antes de que el ángulo BAD llegue a cero. El ángulo ABD alcanza el límite primero, lo que impide al ángulo BAD alcanzarlo. BAD nunca llega a cero.

Por supuesto, esto significa que B nunca llega a A. Si B llegara realmente a A, entonces ya no tendríamos un triángulo. La tangente y la cuerda son iguales sólo cuando ambas son iguales a cero, y son iguales a cero cuando el intervalo entre A y B es cero. Pero el ángulo de 90º en ABD impide que esto pase. Cuando ese ángulo está en 90º, la tangente debe ser mayor que la cuerda. Por lo tanto la cuerda no puede ser cero. Si la cuerda es cero, entonces la tangente y la cuerda son iguales: por lo tanto la cuerda no es cero. Para ponerlo en una forma más típica de demostración:

1) Si la cuerda AB es cero, la tangente AD también es cero.
2) 0 = 0
3) Si AB = AD, el ángulo ABD debe ser menor de 90º.
4) El ángulo ABD no puede ser menor de 90º
QED: AB no es igual a AD; AB no es cero.

De hecho, esta es precisamente la razón por la que podemos hacer cálculos en el "intervalo final" de Newton, o en el límite. Si todas las variables fueran cero o iguales, no podríamos esperar calcular nada. Newton, poco después de demostrar estos lemas, usó una ecuación del verseno en el intervalo final, y no podría haberlo hecho si sus variables se hicieran cero o iguales. Del mismo modo, el cálculo, no importa como se derive o se use, no puede funcionar en el límite si todas las variables o funciones fueran cero o iguales en el límite.

Algunos dirán que mi declaración de que B nunca alcanza a A es como las paradojas de Zenón. ¿Estoy diciendo que Aquiles nunca llega a la meta? No, por supuesto que no. El diagrama de arriba no es equivalente a un simple diagrama de movimiento. B no se está moviendo hacia A del mismo modo que Aquiles se acerca a la meta, y eso no tiene nada que ver con la curvatura. Tiene que ver con la variable de tiempo que está implícita. Si hacemos un diagrama de Aquiles acercándose a la meta, el intervalo de tiempo no se encoge a medida que se acerca a la meta. El intervalo de tiempo es constante. Pinta el movimiento de Aquiles en una gráfica x/t y verás lo que digo. Todas las cajitas del eje t son del mismo ancho. O sal a la pista con Aquiles y cronométralo a medida que se acerca a la línea de meta. Tu reloj sigue adelante y avanza al mismo ritmo si lo ves a 100 metros de la línea de meta que si lo ves a un centímetro.

Pero dado el diagrama de arriba y el postulado "que B se acerque A", se entiende que lo que estamos haciendo es encoger tanto el intervalo de tiempo como la distancia del arco. Estamos analizando un intervalo decreciente, no calculando el movimiento en el espacio. "Que B se acerque a A" no significa "analicemos el movimiento del punto B a medida que viaja por la curva hasta el punto A". Significa, "que disminuya la longitud del arco". A medida que la longitud del arco disminuye, la variable t también se entiende que disminuye. Por lo tanto, lo que estoy diciendo cuando digo que B no puede llegar a A es que Δt no puede llegar a cero. No puedes analizar lógicamente un intervalo decreciente hasta cero,  pues estás analizando movimiento, y el movimiento está definido por un intervalo no nulo.

La circunferencia y la curva son ambos estudios del movimiento. En este análisis en particular, estamos estudiando subintervalos de movimiento. Ese subintervalo, ya se aplique al espacio o al tiempo, no puede hacerse cero. El espacio real es un espacio no nulo, y el tiempo real es un tiempo no nulo. No podemos estudiar el movimiento, la velocidad, la fuerza, la acción, ni ninguna otra variable que se define por x y t excepto cuando estudiamos intervalos no nulos. El límite de cualquier variable calculable siempre es mayor que cero. Por calculable me refiero a una variable de verdad. Por ejemplo, el ángulo ABD no es una variable calculable en el problema de arriba. Es una variable dada. No la calculamos, pues es axiomáticamente 90º. Será 90º en todos los problemas similares. con cualquier circunferencia que se nos de para buscar la velocidad en la tangente. El vector AD, sin embargo, variará con las circunferencias de distinto tamaño. De este modo, sólo el ángulo ABD se puede entender que disminuya hasta un límite de tipo cero. Las otras variables no. Como proporcionan diferentes soluciones para problemas similares (con circunferencias mayores o menores) no se puede asumir que lleguen a un límite de tipo cero. Si llegaran a algún límite, no podrían variar. Una función en un límite debería ser como una constante, pues el límite debería prevenir variaciones posteriores. Por lo tanto, si una variable o una función continúa variando bajo diferentes circunstancias, puedes estar seguro de que no está en el límite o en cero. Es sólo que depende en una variable que sí lo está.

Si AB y AD tienen valores reales en el límite, entonces deberíamos ser capaces de calcular esos valores. Si podemos hacer esto le habremos dado un valor al "infinitesimal". De hecho, lo hacemos todo el rato. Cada vez que hallamos el valor de una derivada, le damos un valor real al infinitesimal. Cuando hallamos una velocidad "instantánea" en cualquier punto de la circunferencia, le hemos dado un valor al infinitesimal. Recuerda que la tangente en cualquier punto de la circunferencia representa a la velocidad. Esa línea se entiende que es un vector cuya longitud es el valor numérico de la velocidad tangencial. Se dibuja habitualmente con una longitud reconocible para hacer que la ilustración sea legible, pero si es una velocidad instantánea, la longitud real del vector debe ser muy pequeña. Muy pequeña, pero no cero, pues realmente hemos hallado una solución no nula de la derivada. La derivada expresa la tangente, así que si la derivada no es nula, la tangente debe ser no nula también.

Algunos han dicho que como hallamos valores considerables para la velocidad tangencial, ese vector no puede ser muy pequeño. Si hallamos que la velocidad en ese punto es 5m/s, por ejemplo, entonces ¿El vector velocidad no debería tener una longitud de 5? No, pues por la manera en que se dibuja y se define el diagrama, hacemos que la longitud represente a una velocidad. Estamos haciendo que x represente a v. La variable t no es parte del diagrama. Está implícita. Se ignora. Si hacemos que B se acerque a A, estamos haciendo que t se haga más pequeño. Una velocidad de 5 sólo significa que la distancia es 5 veces mayor que el tiempo. Si el tiempo es muy pequeño, la distancia también debe serla.



Traducción de Roberto Conde

04 octubre, 2013

El magnetón de Bohr (II)

El Magnetón de Bohr

y el segundo y tercer errores

más importantes de Bohr.

Parte segunda y última. (Viene de la primera parte)



Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.



Por supuesto, esto significa que el radio de Bohr también está mal. Las matemáticas de Bohr están completamente comprometidas por ahora, así que todo tiene que ser revisado. El problema de la velocidad angular ha infectado todos los cálculos, y nada quedará en pie. Corrijamos la ecuación de Bohr:


m·v²/r = k·e²/r²

Para empezar, a ≠ /r . Si queremos usar la velocidad angular, tenemos que usar esta ecuación:

a = ω²/(2r)

Lo que nos da:

mω²/2 = k·e²/r

Usándo el método de Bohr, hallamos

L = mω = h/2π

ω = h/(2πm)

hω/4π = k·e2/r

ω = 4πk·e²/(h·r)
h/2πm = 4πk·e²/(h·r)

r = 8π²m·k·e²/

Esto nos da la inversa del radio de Bohr. Puedes verlo porque de la corrección de la ecuación L = r·m·v tenemos el radio en el lado erróneo de la ecuación. Si usas las matemáticas correctas para el momento angular, el resto de las cuentas de Bohr fallan. Fallan porque L = h/2π se aplica al electrón, pero Bohr está intentando aplicar r y mω a la órbita. Así que esas sustituciones que hacemos no pueden funcionar.

Piensa en la órbita como una gran partícula que gira, de radio r. Esa gran partícula tiene un momento angular. El electrón también tiene un momento angular. Bohr ha mezclado las dos. Sus ecuaciones son una mezcla de ambos valores.

Así que ha cometido dos grandes errores. Uno, ha usado la ecuación errónea para el momento angular, basado en una confusión entre la velocidad tangencial y orbital. Dos, tiene una igualdad falsa. Si se nuestra primera ecuación (mω²/2 = ke²/r) es correcta, entonces la velocidad angular ω debe referirse a la órbita, no al electrón. Si se refiere a la órbita, entonces mω ≠ h/2π. Esto es así por que h/2π se refiere al electrón en órbita, no a la órbita.

También veremos en artículos posteriores que las ecuaciones de Schrodinger[por traducir] no resuelven este problema. Schrodinger tiene los números cuánticos principales de Bohr y también el número cuántico del momento angular, pero no los asigna físicamente. Como no tenemos mecánica, las matemáticas no son claras. Y las ecuaciones de Schrodinger mantienen los errores de Bohr al ir de velocidad lineal a angular. Es decir, Schrodinger sigue usando una ecuación de momento angular falsa. L = r·m·v no lo corrigió Schrodinger, y nunca se corrigió desde entonces.

¿Podemos aún así hallar un radio de Bohr? Asumamos que la primera ecuación es correcta, tras corregir la ecuación del momento.

mω²/2 = k·e²/r

Pero tenemos dos incógnitas, r y ω, y sólo una ecuación. No podemos resolverla sin otra ecuación, y las ecuaciones del momento de Bohr son falsas. Intentemos primero usando c en lugar de v. Asumiremos que la velocidad tangencial del electrón está maximizada.

Así que simplemente volvemos a la ecuación ω = √[2r√(v² + r²) - 2r²], usando c en lugar de v. Dado que el electrón es mas grande que el fotón, debe tener un límite justo por debajo de c, pero dado que ese límite está en el quinto punto decimal de c, lo ignoraremos aquí.

ω = √[2r√(c² + r²) - 2c²]
mω²/2 = ke²/r

r√(c² + r²) - r² = k·e²/(m·r)

Podemos simplificarlo dándonos cuenta de que el lado izquierdo estará dominado por c, permitiéndonos omitir los valores de r.

c·r = k·e²/(m·r)

r = √[ke²/(c·m)] = 9,19×10⁻⁴m

Eso es demasiado grande, así que sabemos que hay algo que sigue estando mal. Intentemos usar el radio de Bohr para encontrar la velocidad angular.

ω = √[2k·e²/(m·r)] = 3,09×10⁶m/s

Es interesante que eso es casi todo lo que obtenemos para la velocidad tangencial v usando las matemáticas de Bohr de arriba: recuerda que usando el radio de Bohr, hallamos v = 2,19×10⁶m/s. Pero si usamos la ecuaciones correctas para la velocidad, hallamos:

r² = ω⁴/(4 - 4ω²)

v = ω²√[4r² + ω²] = 3×10¹⁹m/s

Así que eso tampoco puede ser correcto. A partir de estos cálculos, parecería que el radio de Bohr o es igual o mayor que un milímetro, o estamos usando los valores incorrectos para el electrón, o la ecuación todavía es incorrecta.

Resulta que la ecuación todavía es incorrecta. El problema es simple: la constante k no se aplica al nivel cuántico. La ecuación de Coulomb es para usarla a nivel macroscópico, y la constante es una constante de escalado.

Del mismo modo que mostré con G en otro artículok nos lleva de un nivel a de escala a otro, de modo que podamos comparar campos que tienen diferentes partículas mediadoras o aceleraciones. Coulomb trabajaba con pequeñas esferas eléctricas, no con electrones, y sus esferas eran nueve órdenes de magnitud mayores que el radio orbital del electrón, como verás.

Mostré que G es una constante de escalado que nos lleva del tamaño de los fotones emitidos al tamaño del átomo. Sí, el fotón B es G veces más pequeño que el protón. Lo descubrimos en la ecuación de Newton, más que en ningún otro sitio, porque la ecuación de Newton es en realidad una ecuación de campo unificado disfrazada[por traducir]. Contiene tanto la aceleración gravitatoria como el campo fundamental E/M (o campo de carga). Bien, lo mismo ocurre con la ecuación de Coulomb. Se parece a la ecuación de Newton porque es la misma ecuación de campo unificado con un disfraz diferente. La ecuación de Newton oculta el campo E/M, y la ecuación de Coulomb oculta el campo gravitatorio. Como ni Newton ni Coulomb entendieron los campos que se escondían bajo sus ecuaciones, sólo nos proporcionaron cálculos que funcionaban. Sus ecuaciones funcionan porque comprimen el campo unificado en un sólo campo, y la transformada entre los dos campos es la constante.

Dado que en la ecuación de Bohr el campo es en realidad el campo en el que el electrón se mueve, no necesitamos una transformada o constante de escalado. El electrón ya se mueve en su propia escala. En la pequeña ilustración del libro, vemos al electrón dando vueltas alrededor del núcleo, y el electrón y el radio orbital están en el mismo campo. Tenemos que hacer muy poco escalado (entre la carga y el campo en el que está) para hacer el dibujo, y eso no está fuera de contexto. El protón realmente repele al electrón ese mismo radio.

Así que tenemos esta simple ecuación:

r = √[/(m·c)] = 9.69×10⁻⁹m

Ese es el radio de Bohr corregido. El valor de la constante de Coulomb es 9×10⁹. Esa es una transformada de escala que nos lleva directamente desde el radio de Bohr a nuestro propio mundo. Pero las esferas de Coulomb no eran de un metro de radio. Sus esferas eran de unos 6mm, unas 170 veces más pequeñas que un metro. Ese número 170 no es una coincidencia tampoco, pues acabo de mostrar que el Radio de Bohr es 177 veces mayor de lo que pensamos. De hecho, si dividimos 1 metro por 177, obtenemos 5,65mm. El mismo Coulomb nos dice que sus esferan eran de "entre 2 y 3 pulgadas de diámetro", lo que serían entre 4,5mm y 6,8mm.

Lo que significa todo esto es que la constante de Coulomb no es una constante. Nos lleva de un tamaño a otro, así que no se puede aplicar sobre un rango de tamaños. Eso era de esperar, pues he mostrado que la ecuación de Coulomb, como la de Newton, es una ecuación de campo unificado que incluye tanto el campo E/M como el campo gravitatorio. Más aún, he mostrado que los dos campos no son del mismo tamaño uno respecto al otro, pues subimos y bajamos las escalas de las ecuaciones.

Así que la conexión entre la constante de Coulomb y el radio de Bohr no es una coincidencia. Aunque los valores actuales son incorrectos, no es coincidencia que el actual diámetro de Bohr se tome por 1/k metros. Es el error en la ecuación de Coulomb la que llevó directamente al error en el radio de Bohr, y están conectadas tanto matemáticamente como históricamente. Tampoco es una coincidencia en mis nuevos cálculos, pues si multiplicas el viejo radio de Bohr y el diámetro real de las esferas de Coulomb por 177, obtienes mi nuevo radio de Bohr y un metro. Para más sobre esto, ve a mi artículo sobre la ecuación de Coulomb[por traducir].

Ya he mostrado que una malinterpretación de las ecuaciones de dispersión[por traducir] significa que tenemos un tamaño del átomo 100 veces más pequeño del real, así que mi nueva ecuación también encaja en esa predicción y corrección muy bien. El radio de Bohr es 177 veces mayor de lo que pensábamos, y puedes ver ahora toda la matemática y la lógica detrás de esa corrección.

Addendum [Febrero de 2010]: Finalmente me he dado cuenta de que la ecuación corregida del radio de Bohr se parece mucho al radio clásico del electrón.

mi radio de Bohr corregido = √[(e2/(m·c)]
radio clásico del electrón = e²/(mc²)

Esto es así porque el radio clásico del electrón se derivó de estas mismas ecuaciones defectuosas del momento angular que he tenido que corregir. Ten en cuenta que el radio clásico del electrón nunca fue lógico. El número 2,82×10⁻¹⁵m siempre ha sido demasiado grande, pues si escalamos el radio a la masa, deberíamos ser capaces de multiplicar el radio del electrón y obtener el radio del protón. Eso nos daría un radio del protón de 2,82×10⁻15m × 1836 = 5,2×10⁻¹². Eso es sólo un factor de 10 por debajo del actual radio de Bohr, así que es demasiado grande. El radio electrón nunca se debió calcular como 2,82×10⁻¹⁵m. Los valores que hemos tenido hasta ahora nunca han concordado. El valor actual del radio de Bohr es 100 veces más pequeño, y la estimación actual para el electrón es 100 veces mayor. El radio de Compton del electrón se escribe ahora en términos de la constante de estructura fina, pero sigue siendo el mismo valor que el del radio clásico del electrón. Esto significa que tanto el radio clásico como el radio de Compton del electrón están muy lejos de ser correctos, debido a las ecuaciones defectuosas de Bohr y de otros. Mostraré en un nuevo artículo sobre el efecto Compton [por traducir] que mi radio menor para el electrón es mucho mejor, pero que debería haberse sabido mucho antes que el electrón no podía ser tan grande como 2,82×10⁻¹⁵m. 

Para leer más sobre los problemas  Bohr, deberías leer ahora mi tercer artículo sobre el tema, llamado Más problemas con Bohr[por traducir]. El artículo muestra otra media docena de errores fatales en sus ecuaciones, y nos lleva a la corrección de la Fórmula de Rydberg[por traducir].

Viene de la primera parte.


Traducción de Roberto Conde.